Question

已知函數(shù)f（x）=kx+m，數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足：當(dāng)x∈[a₁，b₁]時，f（x）的值域是[a₂，b₂]；當(dāng)x∈[a₂，b₂]時，f（x）的值域是[a₃，b₃]，…，當(dāng)x∈[a_n-1，b_n-1]（n∈N，且n≥2）時，f（x）的值域是{a_n，b_n}，其中k，m為常數(shù)，a₁=0，b₁=1．
（1）若k=1，m=2，求a₂，b₂以及數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)；
（2）若k=2，且數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，求m的值；
（3）（附加題：5分，記入總分，但總分不超過150分）若k＞0，設(shè){a_n}與{b_n}的前n項(xiàng)和分別為S_n和T_n，求（T₁+T₂+••+T_n）-（S₁+S₂+••+S_n）．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)閗=1，m=2，所以f（x）=x+2在R上是增函數(shù)，從而可知數(shù)列{a_n}與{b_n}是公差為2的等差數(shù)列，故可求a₂，b₂以及數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)；
（2）因?yàn)閗=2，所以f（x）=2x+m在R上是增函數(shù)，所以b_n+1=2b_n+m，n∈N₊，根據(jù){b_n}是等比數(shù)列，所以b_n≠0
于是

bn+1

bn

=2+

m

bn

（是常數(shù)），從而m=0或{b_n}是常數(shù)列，故可求m的值；
（3）因?yàn)閗＞0，所以f（x）=kx+m在R上是增函數(shù)，可得{b_n-a_n}是以b₁-a₁為首項(xiàng)，k為公比的等比數(shù)列
所以bn-an=kn-1(b1-a1)=kn-1，故T_n-S_n=（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+…+（b_n-a_n）=

n，k=1 1-kn 1-k ，k＞0，k≠1

，從而可求（T₁+T₂+••+T_n）-（S₁+S₂+••+S_n）的值．

解答：解：（1）因?yàn)閗=1，m=2，所以f（x）=x+2在R上是增函數(shù)，
所以a₂=a₁+2=2，b₂=b₁+2=3，
a_n=a_n-1+2，b_n=b_n-1+2（n∈N₊，且n≥2）
所以數(shù)列{a_n}與{b_n}是公差為2的等差數(shù)列．
又a₁=0，b₁=1，所以a_n=2（n-1），b_n=2n-1．
（2）因?yàn)閗=2，所以f（x）=2x+m在R上是增函數(shù)，
所以b_n+1=2b_n+m，n∈N₊，
又因?yàn)閧b_n}是等比數(shù)列，所以b_n≠0
于是

bn+1

bn

=2+

m

bn

（是常數(shù)）
所以m=0或{b_n}是常數(shù)列，
又b₁=1，所以若{b_n}是常數(shù)列，則必有b₂=2b₁+m=2+m=1，即m=-1
綜上，m=0或m=-1．
（附加題）（3）因?yàn)閗＞0，所以f（x）=kx+m在R上是增函數(shù)，
所以a_n=ka_n-1+m，b_n=kb_n-1+m（n∈N₊，且n≥2）
兩式相減得b_n-a_n=k（b_n-1-a_n-1）
即{b_n-a_n}是以b₁-a₁為首項(xiàng)，k為公比的等比數(shù)列
所以bn-an=kn-1(b1-a1)=kn-1
∴T_n-S_n=（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+…+（b_n-a_n）=

n，k=1 1-kn 1-k ，k＞0，k≠1

∴（T₁+T₂+••+T_n）-（S₁+S₂+••+S_n）=（T₁-S₁）+（T₂-S₂）+…+（T_n-S_n）
=

n(n+1) 2 ，k=1 kn+1-(n+1)k+n (1-k)2 ，k＞0，k≠1

．

點(diǎn)評：本題以函數(shù)為載體，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)列的求和，將數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列與等比數(shù)列是解題的關(guān)鍵．