Question

已知曲線C：x²+y²﹣2x﹣4y+m=0
（1）當(dāng)m為何值時(shí)，曲線C表示圓；
（2）若曲線C與直線y=x+1交于M、N兩點(diǎn)，且OM⊥ON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求m的值．

Answer 1

解：（1）由D²+E²﹣4F=4+16﹣4m=20﹣4m＞0，
解得：m＜5；
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵OM⊥ON，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
又y=x+1，
∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁+1）（x₂+1）=0，
∴2x₁x₂+（x₁+x₂）+1=0③，
將直線方程y=x+1與曲線C：x²+y²﹣2x﹣4y+m=0，
聯(lián)立并消去y得：2x²﹣4x+m﹣3=0，
由韋達(dá)定理得：x₁+x₂=2①，x₁x₂= ②，
將①、②代入③得：4+ +1=0，則m=﹣7．