Question

已知函數f(x)=xln(1+x)-a(x+1)，其中a為常數.

(Ⅰ)若當x∈[1,+∞)時，f′(x)＞0恒成立，求a的取值范圍；

(Ⅱ)求g(x)=f′(x)的單調區間.

Answer 1

解：(Ⅰ)f′(x)=ln(1+x)+-a＞0,則a＜ln(1+x)+

令h(x)=ln(1+x)+,則h′(x)+,當x∈[1,+∞)時,h′(x)＞0,

∴h(x)在[1,+∞)上單調增,∴a＜h(1)=+1n2,∴a的取值范圍是(-∞,+ln2). 

(Ⅱ)g(x)=ln(1+x)+-a,x∈[-1,+∞),則g′(x)=

i)當a＞1時,x∈(-1,a-2),g′(x)＜0,g(x)是減函數.x∈(a-2,+∞),g′(x)＞0,g(x)是增函數. 

ii)當a≤l時,x∈(-1,+∞),g′(x)＞0,g(x)是增函數.

綜上所述.當a＞1時,增區間為(a.-2,+∞),減區間為(-1,a-2)；

當a≤1時,增區間為(-1,+∞).