Question

橢圓的左、右焦點分別為F₁(-1，0)，F₂(1,0)，過F₁作與x軸不重合的直線l交橢圓于A,B兩點.
(I)若ΔABF₂為正三角形，求橢圓的離心率；
(II)若橢圓的離心率滿足,為坐標原點，求證:.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析．

試題分析：（Ⅰ）由橢圓定義易得為邊上的中線，在中，可得，即得橢圓的離心率；（Ⅱ）設，，由，，先得，再分兩種情況討論，①是當直線軸垂直時；②是當直線不與軸垂直時，都證明，可得結論．
試題解析：（Ⅰ）由橢圓的定義知，又，∴，即為邊上的中線，∴,        2分
在中，則，∴橢圓的離心率．       4分
（注：若學生只寫橢圓的離心率，沒有過程扣3分）
（Ⅱ）設，因為，，所以    6分
①當直線軸垂直時，，，,
=，因為，所以，恒為鈍角，
.         8分
②當直線不與軸垂直時，設直線的方程為：，代入，
整理得：，
，


      10分
令，由①可知，
恒為鈍角.，所以恒有．      12分