Question

（2012•江西模擬）在直角坐標平面內，已知函數f（x）=log_a（x+2）+3（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點P，若角θ的終邊過點P，則cos²θ+sin2θ的值等于（　　）

• A．-

  1

  2

• B．

  1

  2

• C．

  7

  10

• D．-

  7

  10

Answer 1

分析：令函數解析式中x=-1，得到f（x）=3，可得出此函數恒過（-1，3），即為P的坐標，根據P的坐標及P在第二象限，利用任意角的三角函數定義確定出sinθ和cosθ的值，然后將所求式子的第二項利用二倍角的正弦函數公式化簡后，將sinθ和cosθ的值代入，計算后即可得到值．

解答：解：∵函數f（x）=log_a（x+2）+3，當x=-1時，f（-1）=3，
∴此函數圖象恒過P（-1，3），
又角θ的終邊過點P點，
∴sinθ=

3 10

10

，cosθ=-

10

10

，
則cos²θ+sin2θ=cos²θ+2sinθcosθ
=（-

10

10

）²+2×

3 10

10

×（-

10

10

）=-

1

2

．
故選A

點評：此題考查了二倍角的正弦函數公式，對數函數的單調性與特殊點，以及任意角的三角函數定義，其中確定出P的坐標是本題的突破點．