Question

以下說法正確的是

③④

．
①lg9•lg11＞1．
②用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+a+a2+…+an+1=

1-an+2

1-a

(n∈N*，a≠1)”在驗(yàn)證n=1時(shí)，左邊=1．
③已知f（x）是R上的增函數(shù)，a，b∈R，則f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）的充要條件是a+b≥0．
④用分析法證明不等式的思維是從要證的不等式出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件．

Answer 1

分析：①由基本不等式可得，lg9•lg11≤（

lg9+lg11

2

）²，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可判斷；
②首先分析題目已知用數(shù)學(xué)歸納法證明：“1+a+a²+…+aⁿ⁺¹=

1-a n+2

1-a

（a≠1）”在驗(yàn)證n=1時(shí)，左端計(jì)算所得的項(xiàng)．把n=1代入等式左邊即可得到答案．
③由已知函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，我們可以先判斷命題a+b≥0⇒f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）的真假，然后根據(jù)互為逆否命題的真假性相同，我們也可以得到命題f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）⇒a+b≥0真假；
④利用分析法的定義和分析法證題的方法，逐步尋求使結(jié)論成立的充分條件，只要使結(jié)論成立的充分條件已具備，此結(jié)論就一定成立．

解答：解：∵lg9＞0，lg11＞0
∴l(xiāng)g9•lg11≤（

lg9+lg11

2

）²=（

1

2

lg99）2²＜1，故錯(cuò)；
②用數(shù)學(xué)歸納法證明：“1+a+a²+…+aⁿ⁺¹=

1-a n+2

1-a

（a≠1）”
在驗(yàn)證n=1時(shí)，把當(dāng)n=1代入，左端=1+a+a²．故錯(cuò)；
③先證命題：a+b≥0⇒f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）為真．
a+b≥0⇒a≥-b，b≥-a
⇒f（a）≥f（-b），f（b）≥f（-a）
⇒f（a）+f（b）≥f（-b）+f（-a）．
再證f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）⇒a+b≥0為真，即命題a+b＜0⇒f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b）．
a+b＜0⇒a＜-b，b＜-a
⇒f（a）＜f（-b），f（b）＜f（-a）
⇒f（a）+f（b）＜f（-b）+f（-a）．
故其逆命題：“若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），則a+b≥0”也為真．
故f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）的充要條件是a+b≥0，正確；
④分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使結(jié)論成立的充分條件，只要使結(jié)論成立的充分條件已具備，
此結(jié)論就一定成立．故正確．
故答案為：③④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了基本不等式及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)歸納法證明等式的問題，考查分析法的定義和實(shí)質(zhì)，這是用分析法證題的理論依據(jù)，它和綜合法的過程互逆．屬于概念性問題．