Question

點M是橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上的一點，F₁，F₂分別為橢圓左右焦點，則滿足|MF₁|=3|MF₂|的點M坐標為

（±2，0）

．

Answer 1

分析：根據橢圓的定義結合|MF₁|=3|MF₂|算出|MF₁|=3且|MF₂|=1．再由向量的數量積運算，得到cos∠F₁MF₂=1，從而得到∠F₁MF₂=0，由此可得M為長軸的端點，得到本題答案．

解答：解：∵根據橢圓的定義，得|MF₁|+|MF₂|=2a=4
∴結合|MF₁|=3|MF₂|，可得|MF₁|=3且|MF₂|=1
∵

F1F2

=

MF2

-

MF1

∴平方得|

F1F2

|²=|

MF2

|²+|

MF1

|²-2|

MF2

|•|

MF1

|cos∠F₁MF₂，
即4=9+1-2×3×1×cos∠F₁MF₂，可得cos∠F₁MF₂=1
∴∠F₁MF₂=0，可得M在長軸的端點，可得M（±2，0）
故答案為：（±2，0）

點評：本題給出橢圓的方程，求橢圓上滿足|MF₁|=3|MF₂|的點M坐標．著重考查了橢圓的定義與標準方程，向量數量積的運算性質等知識，屬于中檔題．