Question

數列{a_n}中，a₁=2，an+1=2-

1

an

，（1）寫出a₂，a₃，a₄：（2）猜測{a_n}表達式，并用數學歸納法證明．

Answer 1

分析：（1）由題意可得 an+1=2-

1

an

，又a₁=2，可求得a₂，再由a₂的值求 a₃，再由a₃ 的值求出a₄的值．
（2）猜想 an=

n+1

n

，檢驗n=1時等式成立，假設n=k時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立．

解答：解：分別令n=1，2，3，代入遞推公式得：
a2=

3

2

a3=

4

3

a4=

5

4

(3)（3分）    
猜：an=

n+1

n

（5分）
證明：n=1命題成立                                        （6分）
假設n=k成立，ak=

k+1

k

(7)（7分）
當n=k+1，ak+1=2-

1

ak

=2-

k

k+1

=

k+2

k+1

（9分）
所以n∈N，命題成立．                                    （10分）

點評：本題考查數列的遞推公式，用數學歸納法證明等式成立．證明當n=k+1時命題也成立，是解題的難點．