Question

已知數列{a_n}的前項和S_n，當n≥2時，點(

1

Sn-1

，

1

Sn

)在f（x）=x+2的圖象上，且S₁=

1

2

（1）數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=2（1-n）a_n求f（n）=

bn+2

(n+5)bn-1

的最大值及相應的n的值；
（3）在（2）的條件下當n≥2時，設Tn=

b

2 2

+

b

2 3

+…

b

2 n

．證明：T_n＜1．

Answer 1

分析：（1）由n≥2時，點(

1

Sn-1

，

1

Sn

)在f（x）=x+2的圖象上，易得數列{

1

Sn

}是一個以2為公差的等差數列，求出S_n的通項公式后，由n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，得到數列{a_n}的通項公式；
（2）由b_n=2（1-n）a_n，結合（1）中數列{a_n}的通項公式，可得數列{b_n}的通項，進而得到f（n）的表達式，進行利用基本不等式，求出f（n）的最大值及相應的n的值；
（3）由（2）中數列{b_n}的通項，利用放縮法和裂項相消法，可得 T_n＜1-

1

n+1

＜1．

解答：解：（1）∵n≥2時，點(

1

Sn-1

，

1

Sn

)在f（x）=x+2的圖象上，
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，（n≥2）
故數列{

1

Sn

}是一個以2為公差的等差數列
又∵S₁=

1

2

，

1

S1

=2
∴

1

Sn

=2n，即S_n=

1

2n

∴n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

1

2n

-

1

2(n-1)

=

1

2(n-1)n

又∵n=1時，

1

2(n-1)n

無意義
故a_n=

1 2 ，n=1 1 2(n-1)n ，n≥2

（2）∵b_n=2（1-n）a_n，
∴當n=1時，b₁=0，
當n≥2時，b_n=2（1-n）•

1

2(n-1)n

=

1

n

∴f（n）=

bn+2

(n+5)bn-1

=

n+1

(n+2)(n+5)

=

1

(n+1)+ 4 n+1 +5

≤

1

9

當且僅當n+1=2，即n=1時取等
（3）當n≥2時，
Tn=

b

2 2

+

b

2 3

+…

b

2 n

=

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

＜

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1
即T_n＜1

點評：本題是數列與不等式的綜合應用，熟練掌握數列的函數特征，掌握數列通項公式及數列求和的常用方法和技巧是解答的關鍵．