Question

【題目】如圖，C、D是以AB為直徑的圓上兩點，AB=2AD=2 ，AC=BC，F(xiàn) 是AB上一點，且AF= AB，將圓沿直徑AB折起，使點C在平面ABD的射影E在BD上，已知CE= ．

（1）求證：AD⊥平面BCE；
（2）求證：AD∥平面CEF；
（3）求三棱錐A﹣CFD的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：依題AD⊥BD，

∵CE⊥平面ABD，∴CE⊥AD，

∵BD∩CE=E，

∴AD⊥平面BCE

（2）證明：Rt△BCE中，CE= ，BC= ，∴BE=2，

Rt△ABD中，AB=2 ，AD= ，∴BD=3．

∴ ．

∴AD∥EF，∵AD在平面CEF外，

∴AD∥平面CEF

（3）解：由（2）知AD∥EF，AD⊥ED，

且ED=BD﹣BE=1，

∴F到AD的距離等于E到AD的距離為1．

∴S△FAD= = ．

∵CE⊥平面ABD，

∴VA﹣CFD=VC﹣AFD= = =

【解析】（1）依題AD⊥BD，CE⊥AD，由此能證明AD⊥平面BCE．（2）由已知得BE=2，BD=3．從而AD∥EF，由此能證明AD∥平面CEF．（3）由VA﹣CFD=VC﹣AFD，利用等積法能求出三棱錐A﹣CFD的體積．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與平面平行的判定(平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行)，還要掌握直線與平面垂直的判定(一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數(shù)學思想)的相關知識才是答題的關鍵．