Question

已知向量

a

=（x+z，3），

b

=（2，y-z），且

a

⊥

b

，若x，y滿足不等式|x|+|y|≤1，則z的取值范圍為（　　）

• A、[-2，2]
• B、[-2，3]
• C、[-3，2]
• D、[-3，3]

Answer 1

分析：根據平面向量的垂直的坐標運算法則，我們易根據已知中的

a

=（x+z，3），

b

=（2，y-z），

a

⊥

b

，構造出一個關于x，y，z的方程，即關于Z的目標函數，畫了約束條件|x|+|y|≤1對應的平面區域，并求出各個角點的坐標，代入即可求出目標函數的最值，進而給出z的取值范圍．

解答：解：∵

a

=（x+z，3），

b

=（2，y-z），
又∵

a

⊥

b

∴（x+z）×2+3×（y-z）=2x+3y-z=0，
即z=2x+3y
∵滿足不等式|x|+|y|≤1的平面區域如下圖所示：
由圖可知當x=0，y=1時，z取最大值3，
當x=0，y=-1時，z取最小值-3，
故z的取值范圍為[-3，3]
故選D

點評：本題考查的知識點是數量積判斷兩個平面向量的垂直關系，簡單線性規劃的應用，其中利用平面向量的垂直的坐標運算法則，求出目標函數的解析式是解答本題的關鍵．