Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）求證：當時，函數在上存在唯一的零點；

（Ⅱ）當時，若存在，使得成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ).

【解析】分析：(Ⅰ)f求導得，，由，所以，則函數在單調遞增，計算f，，即可證明結論．
（Ⅱ）由（Ⅰ），，，

當時，，在單調遞增，

當時，，在單調遞減，當時，在時取最大值，最大值為.，“存在，使得成立”等價于“時，”，即可得出．

詳解：

（Ⅰ）函數，定義域為，，

由，所以，則函數在單調遞增，

又，，

函數在上單調遞增，

所以函數在上存在唯一的零點.

（Ⅱ）由（Ⅰ），，，

當時，，在單調遞增，

當時，，在單調遞減，

則在時取最大值，且最大值為.

“存在，使得成立”等價于“時，”，所以，即，

令，，則在單調遞增，且，

所以當時，，當時，，

即的取值范圍為.