Question

如圖，一張平行四邊形的硬紙片中，，。沿它的對角線把△折起，使點到達平面外點的位置。
（Ⅰ）△折起的過程中，判斷平面與平面的位置關系，并給出證明；
（Ⅱ）當△為等腰三角形，求此時二面角的大小。

Answer 1

（Ⅰ）平面平面…………1分
證明：因為，，所以，。
因為折疊過程中，，所以，又，故平面。
又平面，所以平面平面。…………5分
（Ⅱ）解法一：如圖，延長到，使，連結，。…………6分

因為，，，，所以為正方形，。
由于，都與平面垂直，所以，可知。
因此只有時，△為等腰三角形。………………8分
在△中，，
又，所以△為等邊三角形，。………………10分
由（Ⅰ）可知，，所以為二面角的平面角，即二面角的大為。…………12
解法二：以為坐標原點，射線，分別為軸正半軸和軸正半軸，建立如圖的空間直角坐標系，則，，。………………6分

由（Ⅰ）可設點的坐標為，其中，則有。     ①
因為△為等腰三角形，
所以或。………………8分
若，則有。
則此得，，不合題意。
若，則有。     ②
聯立①和②得，。故點的坐標為。
由于，，所以與夾角的大小等于二面角的大小。
又，，
所以，即二面角的大小為。

略