Question

（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，PA是⊙O的切線，PB交AC于點E，交⊙O于點D，若PE=PA，∠ABC=60°，PD=1，BD=8，求線段BC的長．

Answer 1

分析：利用弦切角定理即可得出∠PAE=60°，進而得出△PAE是等邊三角形．再利用切割線定理和相交弦定理即可得出．

解答：解：∵PA是⊙O的切線，∴PA²=PD•PB，
∵PD=1，BD=8，∴PA²=1×9，解得PD=3．
∵∠ABC=60°，∴∠PAE=60°．
又∵PE=PA，∴△PAE是等邊三角形．
∴AE=3，ED=PE-PD=2．
由相交弦定理可得：BE•ED=AE•EC，∴6×2=3×EC，解得EC=4．
在△BEC中，由余弦定理可得BC²=6²+4²-2×6×4cos60°=28．
∴BC=2

7

．

點評：熟練掌握弦切角定理、等邊三角形的判定、切割線定理和相交弦定理是解題的關鍵..