Question

【題目】已知函數f（x）=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的單調增區間；
（3）若 ，求f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x

=（cos2x+sin2x）（cos2x﹣sin2x）﹣sin2x

=1×（cos2x﹣sin2x）﹣sin2x

=cos2x﹣sin2x

= cos（2x+ ）

∴T= =π

（2）解：∵﹣π+2kπ≤2x+ ≤2kπ，k∈Z，

∴﹣ π+kπ≤x≤﹣ +kπ，k∈Z，

∴f（x）的單調增區間為[﹣ π+kπ，﹣ +kπ]，k∈Z

（3）解：由（1）可得f（x）在[0， ]上單調遞減，在[ ， ]上遞增，

∴f（x）的最小值為﹣ ，

f（0）= cos（0+ ）=1，f（ ）=﹣1，

∴f（x）的值域為[﹣ ，1]

【解析】利用二倍角公式化成 f（x）=cos2x﹣sin2x= cos（2x+ ）;（1）最小正周期T=π．（2）令﹣π+2kπ≤2x+ ≤2kπ，求單調遞增區間，（3）根據正弦函數的性質可得f（x）在[0， ]上單調遞減，在[ ， ]上遞增，即可求出函數的值域
【考點精析】認真審題，首先需要了解正弦函數的單調性(正弦函數的單調性：在上是增函數；在上是減函數)．