Question

設(shè)f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ展開(kāi)式中x的系數(shù)是19，（m、n∈N^*）
（1）求f（x）展開(kāi)式中x²的系數(shù)的最小值．
（2）對(duì)f（x）展開(kāi)式中x²的系數(shù)取得最小值時(shí)的m、n，求f（x）展開(kāi)式中x⁷的系數(shù)．

Answer 1

分析：（1）利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出展開(kāi)式的x的系數(shù)，列出方程得到m，n的關(guān)系；利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出x²的系數(shù)，將m，n的關(guān)系代入得到關(guān)于m的二次函數(shù)，配方求出最小值
（2）由（1）得到的m，n代入f（x），利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出f（x）展開(kāi)式中x⁷的系數(shù)．

解答：解：（1）f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ展開(kāi)式中x的系數(shù)是19，
則m+n=19，即m=19-n
x²的系數(shù)為C_m²+C_n²=C_19-n²+C_n²
=

1

2

(19-n)(18-n)+

1

2

n(n-1)
=(n-

19

2

)2+

323

4

n∈N^*，當(dāng)n=9或10，x²的系數(shù)最小值是81．…（10分）
（2）當(dāng)n=9，m=10或n=10，m=9時(shí)，x⁷的系數(shù)C₁₀⁷+C₉⁷=156…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開(kāi)式的特殊項(xiàng)問(wèn)題，是一道中檔題．