Question

已知橢圓的左焦點為F，O為坐標原點。

（1）求過點O、F，并且與橢圓的左準線l相切的圓的方程；
（2）設過點F且不與坐標軸垂直交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，求點G橫坐標的取值范圍。

Answer 1

解：（1））∵a²=2，b²=1，
∴c=1，F（-1，0），l：x=-2
∵圓過點O、F，
∴圓心M在直線上
設
則圓半徑
由|OM|=r，得
解得
∴所求圓的方程為。
（2）設直線AB的方程為y=k（x+1）（k≠0），
代入，整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0
∵直線AB過橢圓的左焦點F，
∴方程有兩個不等實根
記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點N（x₀，y₀），則
∴AB的垂直平分線NG的方程為
令y=0，得
∵k≠0
∴
∴點G橫坐標的取值范圍為。