Question

已知函數f（x）是（-∞，+∞）上的偶函數，若對于x≥0，都有f（x+2）=-f（x），且當x∈[0，2）時，f（x）=log₂（x+1），f（-2010）-f（2009）的值為

-1

．

Answer 1

分析：由偶函數的性質及函數的周期性將f（-2010）-f（2009）的值用x∈[0，2）時上的函數值表示出來，代入解析式求出值

解答：解：對于x≥0，都有f（x+2）=-f（x）
∴f（x+4）=f（x）
∵函數f（x）是（-∞，+∞）上的偶函數
∴f（-x）=f（x）
∴f（-2010）-f（2009）=f（2010）-f（2009）
=f（2）-f（1）=-f（0）-f（1）=-1
故答案為：-1

點評：本題考查函數的周期性與函數偶函數的性質，解題的關鍵是根據函數的這兩個性質靈活轉化，將要求函數值用已知解析式的區間上的函數值表示出來，這是函數周期性運用的一種主要類型，題后應總結其規律．