Question

（2013•徐州一模）如圖，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，A=120°，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上的點，且

AE

=m

AB

，

AF

=n

AC

，其中m，n∈（0，1）．若EF，BC的中點分別為M，N，且m+4n=1，則|

MN

|的最小值為

7

7

．

Answer 1

分析：由等腰△ABC中，AB=AC=1且A=120°，算出

AB

•

AC

=-

1

2

．連接AM、AN，利用三角形中線的性質(zhì)，得到

AM

=

1

2

（

AE

+

AF

）且

AN

=

1

2

（

AB

+

AC

），進(jìn)而得到

MN

=

AN

-

AM

=

1

2

（1-m）

AB

+

1

2

（1-n）

AC

．將此式平方，代入題中數(shù)據(jù)化簡可得

MN

2=

1

4

（1-m）²-

1

4

（1-m）（1-n）+

1

4

（1-n）²，結(jié)合m+4n=1消去m，得

MN

2=

21

4

n²-

3

2

n+

1

4

，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)n=

1

7

時，

MN

2的最小值為

1

7

，所以|

MN

|的最小值為

7

7

．

解答：解：連接AM、AN，
∵等腰三角形ABC中，AB=AC=1，A=120°，
∴

AB

•

AC

=|

AB

|•|

AC

|cos120°=-

1

2

∵AM是△AEF的中線，
∴

AM

=

1

2

（

AE

+

AF

）=

1

2

（m

AB

+n

AC

）
同理，可得

AN

=

1

2

（

AB

+

AC

），
由此可得

MN

=

AN

-

AM

=

1

2

（1-m）

AB

+

1

2

（1-n）

AC

∴

MN

2=[

1

2

（1-m）

AB

+

1

2

（1-n）

AC

]²=

1

4

（1-m）²+

1

2

（1-m）（1-n）

AB

•

AC

+

1

4

（1-n）²
=

1

4

（1-m）²-

1

4

（1-m）（1-n）+

1

4

（1-n）²，
∵m+4n=1，可得1-m=4n
∴代入上式得

MN

2=

1

4

×（4n）²-

1

4

×4n（1-n）+

1

4

（1-n）²=

21

4

n²-

3

2

n+

1

4

∵m，n∈（0，1），
∴當(dāng)n=

1

7

時，

MN

2的最小值為

1

7

，此時|

MN

|的最小值為

7

7

．
故答案為：

7

7

點評：本題給出含有120度等腰三角形中的向量，求向量

MN

模的最小值，著重考查了平面向量數(shù)量積公式及其運算性質(zhì)和二次函數(shù)的最值求法等知識，屬于中檔題．