Question

【題目】設函數是偶函數的導函數，在區間上的唯一零點為2，并且當時，，則使得成立的的取值范圍是（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

令g（x）=xf（x），由導數得到函數g（x）的單調性和零點，再根據題意得到函數g（x）為奇函數，由此可得函數g（x）的圖象，結合圖象可得所求的范圍．

令g（x）=xf（x），則g′（x）=xf′（x）+f（x），

∵當x∈（﹣1，1）時，xf′（x）+f（x）＜0，

∴函數g（x）在（﹣1，1）上單調遞減．

∵g（﹣x）=﹣xf（﹣x）=﹣xf（x）=﹣g（x），

∴g（x）在R是奇函數．

∵f（x）在區間（0，+∞）上的唯一零點為2，

即g（x）在區間（0，+∞）上的唯一零點為2，

∴g（x）在（﹣∞，﹣1）單調遞增，在（﹣1，1）單調遞減，在（1，+∞）單調遞增，

且g（0）=0，g（2）=0，g（﹣2）=0，

畫出函數g（x）的圖象，如下圖所示，

結合圖象可得，當x≥0時，由f（x）＜0，即xf（x）＜0，可得0≤x＜2；

當x＜0時，由f（x）＜0，即xf（x）＞0，可得﹣2＜x＜0．

綜上的取值范圍是（﹣2，2）．

故選A．