Question

（08年新建二中模擬文） (12分)    已知是定義在R上的函數，其圖象交x軸于A、B、C三點．若點B的坐標為 (2，0)，且f (x) 在[－1，0]和[4，5]上有相同的單調性，在[0，2]和[4，5]上有相反的單調性．
　　(1)求c的值；
　　(2)在函數f (x)的圖象上是否存在一點M(x₀，y₀)，使得f (x)在點M的切線斜率為3b？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；
　　(3)求| AC |的取值范圍．

Answer 1

解析：(1)
　　依題意在和[0，2]上有相反的單調性，
　　∴x = 0是f (x)的一個極值點，故，得c = 0       
    (2) 因為f (x)交x軸于點B(2，0)
　　∴，即       
　　令得
　　因為f (x)在[0，2]和[4，5]上有相反的單調性，∴在[0，2]和[4，5]上有相反的符號
　　故2≤≤4　　Þ　－6≤≤－3   
　　假設存在點M(x₀，y₀)使得f (x)在點M的切線斜率為3b，則f ^/ (x₀) =3b，
    即
   
　　而－6≤≤－3，∴△＜0
　　故不存在點M(x₀，y₀)，使得f (x)在點M的切線斜率為3b．  
　　(3)解：設，依題意可令
　　
　　則即        
　　∴
　　∵－6≤≤－3，∴當時，；
　　當時，，故3≤| AC |≤4．