Question

設命題p：實數x滿足x²-4ax+3a²＜0（a＞0）命題q：實數x滿足

x2-x-6＜0 x2+2x-8＞0

（1）若a=1，且p∩q為真，求實數x的取值范圍
（2）若?p是?q的充分不必要條件，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：先分別求出命題p、q成立時，x的范圍，
（1）p∩q為真，即求兩范圍的交集；
（2）?p是?q的充分不必要條件，等價于p是q的必要不充分條件，從而有（2，3）⊆（a，3a），由此可得a的取值范圍．

解答：解：x²-4ax+3a²=0對應的根為a，3a；
由于a＞0，則x²-4ax+3a²＜0的解集為（a，3a），故命題p成立有x∈（a，3a）；
由x²-x-6＜0得x∈（-2，3），
由x²+2x-8＞0得x∈（-∞，-4）∪（2，+∞），
故命題q成立有x∈（2，3）．
（1）a=1時，命題p成立有x∈（1，3），
∵p∩q為真，∴實數x的取值范圍是x∈（2，3）；
（2）∵?p是?q的充分不必要條件，
∴p是q的必要不充分條件，
∴有（2，3）⊆（a，3a），
∵a＞0
∴

a≤2 3≤3a

∴1≤a≤2．

點評：本題考查不等式的解法，考查四種條件，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．