Question

（本題滿分18分）第一題滿分5分，第二題滿分5分，第三題滿分8分．

如圖，有一公共邊但不共面的兩個三角形ABC和A₁BC被一平面DEE₁D₁所截，若平面DEE₁D₁分別交AB,AC,A₁B,A₁C于點D,E,D₁,E₁。

（1）討論這三條交線ED,CB, E₁ D₁的關系。

 

（2）當BC//平面DEE₁D₁時,求的值;

 

（3）當BC不平行平面DEE₁D₁時, 的值變化嗎？為什么？

 

 

Answer 1

【答案】

（1）互相平行或三線共點。

當BC//平面DEE₁D₁時，

平面ABC平面DEE₁D₁=ED

BC// ED,同理CB// E₁ D₁

∴ED//CB// E₁ D₁

當BC不平行平面DEE₁D₁時,

延長ED、CB交于點H，

∴H∈EF   ∵EF平面DEE₁D₁    ∴H∈平面DEE₁D₁ 

同理H∈平面A₁BC

∴H∈平面DEE₁D₁∩平面A₁BC

即H∈E₁D₁    ∴E₁、D₁、H三點共線

∴三線共點

（2）解：∵BC//平面DEE₁D₁

且BC平面ABC，平面ABC∩平面DEE₁D₁=ED  

∴BC∥ED，同理BC∥E₁D₁  

在△ABC中，BC∥ED

∴= 同理可得=

∴==1

（3）解：

由（1）可得，延長ED、CB、E₁D₁交于點H，

過點B作BF∥AC，BG∥A₁C    

∵BF∥AC    ∴=

同理可得=

在△HCE中，BG∥CE₁       ∴=

同理可得=

∴=====1

的值不變化，仍為1

 

【解析】略