Question

已知函數f(x)＝x²＋xsin x＋cos x.
(1)若曲線y＝f(x)在點(a，f(a))處與直線y＝b相切，求a與b的值；
(2)若曲線y＝f(x)與直線y＝b有兩個不同交點，求b的取值范圍．

Answer 1

(1) a＝0，b＝1.(2) b>1

(1)由f(x)＝x²＋xsin x＋cos x，
得f′(x)＝x(2＋cos x)，
∵y＝f(x)在點(a，f(a))處與直線y＝b相切．
∴f′(a)＝a(2＋cos a)＝0且b＝f(a)，
則a＝0，b＝f(0)＝1.
(2)令f′(x)＝0，得x＝0.
∴當x>0時，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)遞增．
當x<0時，f′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上遞減．
∴f(x)的最小值為f(0)＝1.
由于函數f(x)在區間(－∞，0)和(0，＋∞)上均單調，
所以當b>1時曲線y＝f(x)與直線y＝b有且僅有兩個不同交點．