Question

已知R是實數(shù)集，實數(shù)a、b都是常數(shù)，a＞0，f(x)=

a

3

x3+

b

2

x2+x，h(x)是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)F（x）的定義域是{x|x≠0，x∈R}，F(xiàn)(x)=

h(x)，x＞0 -h(x)，x＜0

（I）假設(shè)h（-1）=0，且f（x）在（-∞，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，求a、b的值；
（II）假設(shè)h（x）是偶函數(shù)，m+n＞0，m•n＜0，證明：F（m）+F（n）＞0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出h（x），得到F（x）的解析式，（I）h（-1）=0，且f（x）在（-∞，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，得出關(guān)于a、b的方程與不等式，求解即可；
（II）h（x）是偶函數(shù)可得出b=0，由函數(shù)的解析式可以得出，F(xiàn)（x）是一個奇函數(shù)，也是一個增函數(shù)，又m+n＞0，m•n＜0不妨令m＞0，n＜0，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)進行進行證明即可

解答：解：由題意h（x）=ax²+bx+1，故F(x)=

ax2+bx +1，x＞0 -ax2-bx -1，x＜0

（I）h（-1）=0得a-b+1=0  ①
f（x）在（-∞，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，a＞0，故h（x）=ax²+bx+1≥0在R上恒成立，即b²-4a≤0②
由①得b=a+1代入②得（a+1）²-4a=（a-1）²≤0，故a=1，∴b=2
（II）∵h（x）是偶函數(shù)，，∴b=0，∴F(x)=

ax2+1，x＞0 -ax2-1，x＜0

是一個奇函數(shù)，
又a＞0，x＞0，F(xiàn)（x）＞1，x＜0，F(xiàn)（x）＜-1，故在定義域上也是一個增函數(shù)，
又m+n＞0，m•n＜0不妨令m＞0，n＜0，，則有m＞-n＞0，故有F（m）＞F（-n）=-F（n），
∴F（m）+F（n）＞0

點評：本題研究函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，比較抽象，解決問題的關(guān)鍵是把題設(shè)中的條件進行正確轉(zhuǎn)化，判斷，解題中善于觀察敢于判斷也很關(guān)鍵，如在第二問的求解中，由偶函數(shù)的性質(zhì)得出b=0，進而化簡了F（x），能馬上看出這個分段函數(shù)的性質(zhì)是快捷解題的基礎(chǔ)．