Question

【題目】已知F1 ， F2分別是長軸長為2 的橢圓C： + =1（a＞b＞0）的左右焦點，A1 ， A2是橢圓C的左右頂點，P為橢圓上異于A1 ， A2的一個動點，O為坐標原點，點M為線段PA2的中點，且直線PA2與OM的斜率之積恒為﹣ ．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設過點F1且不與坐標軸垂直的直線l交橢圓于A，B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點N，點N橫坐標的取值范圍是（﹣ ，0），求線段AB長的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可知2a=2 ，則a= ，設P（x0 ， y0），
∵直線PA與OM的斜率之積恒為﹣ ，∴ × =﹣ ，
∴ + =1，
∴b=1，
橢圓C的方程 ；
（Ⅱ）設直線l：y=k（x+1），A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
聯立直線與橢圓方程： ，得：（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0，
則x1+x2=﹣ ，x1x2= ，
則y1+y2=k（x1+x2+2）= ，
∴AB中點Q（﹣ ， ），
QN直線方程為：y﹣ =﹣ （x+ ）=﹣ x﹣ ，
∴N（﹣ ，0），由已知得﹣ ＜﹣ ＜0，
∴0＜2k2＜1，
∴|AB|= =
= = （1+ ），
∵ ＜＜12k2+1＜1，
∴|AB|∈（ ，2 ），
線段AB長的取值范圍（ ，2 ）
【解析】（Ⅰ）利用橢圓Q的長軸長為2 ，求出a= ，設P（x0 ， y0），通過直線PA與OM的斜率之積恒為，﹣ ．化簡求出b，即可得到橢圓方程；（Ⅱ）將直線方程代入橢圓方程，由此利用韋達定理、中點坐標公式、直線方程、弦長公式，能求出線段AB長的取值范圍．