Question

．已知定義域為的函數對任意實數滿足：，且不是常函數，常數使，給出下列結論：①；②是奇函數；③是周期函數且一個周期為；④在內為單調函數.其中正確命題的序號是___________.

 

Answer 1

【答案】

③

【解析】根據題意，在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）中，令y=0可得，

2f（x）=2f（x）f（0），又由f（x）不是常函數，即f（x）=0不恒成立，則f（0）=1，依次分析4個命題可得：對于①、在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）中，令x=y=,

可得,結合f（0）=1，f（t）=0，可得,則可得，故①錯誤.

對于②、在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）中，令x=0，可得f（y）+f（-y）=2f（0）f（y）=2f（y），f（y）+f（-y）=0不恒成立，f（x）不是奇函數，故②錯誤.

對于③、在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）中，令y=t可得，在f（x+t）+f（x-t）=2f（x）f（t）=0，即f（x+t）=-f（x-t），則f（x+3t）=-f（x+t）=f（x-t），即f（x+3t）=f（x-t），則f（x）是周期函數且一個周期為4t，③正確.

對于④、根據題意，無法判斷f（x）的單調性，則④錯誤.故答案為③．