Question

12．已知函數f（x）=|x+a|+|x-2|．
（1）若f（x）的最小值為4，求實數a的值；
（2）若-1≤x≤0時，不等式f（x）≤|x-3|恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據絕對值的意義得到|a+2|=4，求出a的值即可；（2）由|x+a|≤1在[-1，0]恒成立得到（-1-x）_max≤a≤（1-x）_min，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）∵f（x）=|x-2|+|x+a|≥|（x-2）-（x+a）|=|a+2|，
當且僅當（x-2）（x+a）≤0時取等號，
∴f（x）_min=|a+2|，
由|a+2|=4，解得：a=2或a=-6；
（2）原命題等價于|x+a|+2-x≤3-x在[-1，0]恒成立，
即|x+a|≤1在[-1，0]恒成立，
即-1-x≤a≤1-x在[-1，0]恒成立，
即（-1-x）_max≤a≤（1-x）_min，
故a∈[0，1]．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查絕對值的性質以及轉化思想，是一道中檔題．