Question

已知函數，，.
（1）求證：函數在上單調遞增；
（2）若函數有四個零點，求的取值范圍.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）實數的取值范圍是.

試題分析：（1）直接利用導數證明函數在上單調遞增，在證明過程中注意導函數的單調性；（2）將函數的零點個數問題轉化為函數圖象的交點個數問題處理，但需注意將式子中的絕對值符號去掉，并借助函數的最值出發，構造有關參數的不等式組，再求解參數的取值范圍.
試題解析：（1），，，
，
，所以，且函數在上單調遞增，
故函數在上單調遞增，，即，
故函數在上單調遞增；
（2），
，，當時，，則，所以且，
，故函數在上單調遞減，由（1）知，函數在上單調遞增，
故函數在處取得極小值，亦即最小值，即，
令，則有，則有或，
即方程與方程的實根數之和為四，
則有，解得或，
綜上所述，實數的取值范圍是.