Question

已知函數f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）當a=1時，求函數f（x）的單調區間；
（2）若函數y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，問：m在什么范圍取值時，函數g(x)=x3+x2[

m

2

+f′(x)]在區間（2，3）上總存在極值？
（3）當a=2時，設函數g(x)=(ρ-2)x+

ρ+2

x

-3，若對任意地x∈[1，2]，f（x）≥g（x）恒成立，求實數p的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x）把a=1代入到f′（x），令f′（x）＞0時，得到函數的遞增區間；令f′（x）＜0時，得到函數的遞減區間；（2）因為函數y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，得到f′（2）=1求出a的值代入到g(x)=x3+x2[

m

2

+f′(x)]中化簡，求出導函數，因為函數在（2，3）上總存在極值得到

g′(2)＜0 g′(3)＞0

解出m的范圍記即可；
（3）設F（x）=f（x）-g（x），求出導函數，討論ρ的范圍得到函數的增減性，因為對任意地x∈[1，2]，f（x）≥g（x）恒成立，得到ρ的取值范圍．

解答：解：f′(x)=

a

x

-a(x＞0)
（1）當a=1時，f′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

令f′（x）＞0時，解得0＜x＜1，所以f（x）在（0，1）遞增；
令f′（x）＜0時，解得x＞1，所以f（x）在（1，+∞）遞減．
（2）因為函數y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，
所以f′（2）=1，所以a=-2，f′(x)=

-2

x

+2，
g(x)=x3+x2[

m

2

+2-

2

x

]=x3+(

m

2

+2)x2-2x，g′（x）=3x²+（4+m）x-2，
因為對于任意的t∈[1，2]，函數g(x)=x3+x2[

m

2

+f′(x)]在區間（t，3）上，
總存在極值，所以只需

g′(2)＜0 g′(3)＞0

，解得-

37

3

＜m＜-9
（3）設F(x)=f(x)-g(x)=2lnx-px-

p+2

x

F′(x)=

2

x

-p+

p+2

x2

=

-px2+2x+(p+2)

x2

=

-p(x+1)(x- p+2 p )

x2

當ρ=-1時，F′(x)=

2x+2

x2

＞0，∴F(x)在[1，2]遞增，所以F（1）=4＞0成立；
1+

2

p

＜-1，即-1＜p＜0時，不成立，（舍）
-1＜1+

2

p

≤1，即p＜-1時，F（x）在[1，2]遞增，所以F（1）=-2p-2≥0，解得ρ≤-1
所以，此時ρ＜-1和ρ=-1時，F（x）在[1，2]遞增，成立；ρ＞-1時，均不成立．
綜上，ρ≤-1

點評：考查學生利用導數研究函數單調性的能力，利用導數研究曲線上某點切線方程的能力，會根據直線的傾斜角求直線的斜率，理解函數恒成立取到的條件．