Question

如圖2-4,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M、N、E分別為AB、PC、PD的中點,當∠PDA為多少度時,MN⊥平面PCD？

圖2-4

Answer 1

取PD中點E,連結EN,EA,則ENAM,∴EA∥MN.
若要使MN⊥平面PCD,則只需EA⊥平面PCD.
由題意,CD⊥EA,要使EA⊥平面PCD,則只需EA⊥PD.
∵E是PD中點,△PAD是直角三角形,
∴當∠PDA為45°時,EA⊥平面PCD,從而MN⊥平面PCD.

求當∠PDA為多少度時,MN⊥平面PCD,可轉化為求當MN⊥平面PCD時,∠PDA為多少度.證明時取PD中點E,則易證明四邊形EAMN是平行四邊形.從而由MN⊥平面PCD可得到EA⊥平面PCD,從而EA⊥PD,又易得△PAD是直角三角形,從而易得到此時∠PDA的度數.