Question

選修4-4：坐標系與參數方程
在極坐標系中，O為極點，已知圓C的圓心為(2，

π

3

)，半徑r=1，P在圓C上運動．
（I）求圓C的極坐標方程；
（II）在直角坐標系（與極坐標系取相同的長度單位，且以極點O為原點，以極軸為x軸正半軸）中，若Q為線段OP的中點，求點Q軌跡的直角坐標方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先設圓上任一點坐標為（ρ，θ），由余弦定理得出關于ρ，θ的關系式，即為所求圓的極坐標方程；
（Ⅱ）設Q（x，y）則P（2x，2y），根據P在圓上，即可Q的直角坐標方程．

解答：解：（Ⅰ）設圓上任一點坐標為（ρ，θ），由余弦定理得12=ρ2+22-2•2ρcos(θ-

π

3

)
所以圓C的極坐標方程為ρ2-4ρcos(θ-

π

3

)+3=0…（5分）
（Ⅱ）圓C的極坐標方程為ρ2-4ρcos(θ-

π

3

)+3=0可化成直角坐標方程為：
(x-1)2+(y-

3

)2=

1

4

設Q（x，y）則P（2x，2y），P在圓上，
∴(2x-1)2+(2y-

3

)2=

1

4

，
則Q的直角坐標方程為(x-

1

2

)2+(y-

3

2

)2=

1

4

…（10分）

點評：本題考查點的極坐標和直角坐標的互化，能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，體會在極坐標系和平面直角坐標系中刻畫點的位置的區別，能進行極坐標和直角坐標的互化，以及利用圓的幾何性質計算圓心到直線的距離等基本方法，屬于基礎題．