Question

已知數(shù)列中，，．
（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列中，，，
證明：，．

Answer 1

（Ⅰ）的通項(xiàng)公式為，；（Ⅱ）同解析；

（Ⅰ）由題設(shè)：


，
．
所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
，
即的通項(xiàng)公式為，．
（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（ⅰ）當(dāng)時(shí)，因，，所以
，結(jié)論成立．
（ⅱ）假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即，
也即．
當(dāng)時(shí)，


，
又，
所以　　


．
也就是說，當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立．
根據(jù)（ⅰ）和（ⅱ）知，．