Question

【題目】設函數，已知在處的切線相同．

（1）求的值及切線的方程；

（2）設函數，若存在實數使得關于的不等式對上的任意實數恒成立，求的最小值及對應的的解析式．

Answer 1

【答案】（1），（2）的最小值為2，

【解析】

試題分析：（1）由導數幾何意義得，又切點相同，所以，從而可列方程組且，解得，，再根據點斜式得切線方程：（2）由題意可得為函數的一條公切線，先求公切線，易得：，解得公切線為，再證恒成立

試題解析：解：（1），

由已知且，

∴且，得，

又，∴，

∴，

∴切線的方程為， 即

（2）由（1）知，，又因為，

可知，

①由對恒成立，

即對恒成立，

所以，解得①

②由對恒成立，即設，

則，令，得，

當時，單調遞增；

當時，單調遞減，

故，

則，故得，②

由①②得，③

由存在實數使得③成立的充要條件 是：不等式，有解，該不等式可化為有解

令，則有，設，

，

可知在上遞增，在上遞減，

又，所以在區間內存在一個零點，故不等式的解為即，得，

因此的最小值為2，代入③中得，故，此時對應的的解析式為