Question

（1）（如圖1）在邊長為4的正方形ABCD中，E、F分別是邊AB，BC上的點，且AE=BF=1，過線段EF上的點P分別作DC，AD的垂線，垂足為M，N，延長NP交BC于Q，試寫出矩形PMDN的面積y與FQ的長x之間的函數關系，并求出y的最大值．
（2）（如圖2）在邊長為4的正方形ABCD中，E、F分別是邊AB，BC上的點，且AE=BF=x，設多邊形的面積為y，當x為何值時，多邊形AEFCD的面積最小？

Answer 1

分析：（1）根據圖象中的平行關系，確定矩形的邊長，進而可求面積，由此可得面積的最值；
（2）確定多邊形AEFCD的面積，利用基本不等式可求最值．

解答：解：（1）由題意，∵PQ∥BE，∴

x

1

=

PQ

3

，∴PQ=3x，∴PN=4-3x
∵DN=4-AN=4-（1-x）=3+x，
∴矩形PMDN的面積y=（4-3x）（3+x）（0≤x≤1）
∴y=-3(x+

5

6

)2+

169

12

∵0≤x≤1，∴x=0時，y_max=12；
（2）多邊形AEFCD的面積等于正方形的面積減去三角形的面積，所以y=16-

1

2

（4-x）x
∵

1

2

（4-x）x≤

1

2

(

4-x+x

2

)2=2（當且僅當x=2時，取等號）
∴y≥16-2=14
∴x=2時，y_min=14

點評：本題考查面積的計算，考查函數模型的構建，考查函數最值的求解，屬于中檔題．