Question

已知，對：和是方程的兩個根，不等式對任意實數恒成立；：函數有兩個零點，求使“且”為真命題的實數的取值范圍。

Answer 1

試題分析：利用二次方程的韋達定理求出|x₁-x₂|，將不等式恒成立轉化為求函數的最值，求出命題p為真命題時m的范圍；利用二次方程有兩個不等根判別式大于0，求出命題Q為真命題時m的范圍；P且Q為真轉化為兩個命題全真，求出m的范圍．解：由題設x₁+x₂=a，x₁x₂=-2，∴|x₁-x₂|=
．當a∈[1，2]時，的最小值為3．要使|m-5|≤|x₁-x₂|對任意實數a∈[1，2]恒成立，只須|m-5|≤3，即2≤m≤8．由已知，得f（x）=3x²+2mx+m+=0的判別式△=4m²-12（m+）=4m²-12m-16＞0，得m＜-1或m＞4．綜上，要使“p且q”為真命題，只需P真Q真，即2≤m≤8，m＜-1或m＞4，解得實數m的取值范圍是（4，8]．
點評：本題考查二次方程的韋達定理、二次方程有根的判斷、復合命題的真假與構成其簡單命題的真假的關系．