Question

如圖，P、O分別是正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁上、下底面的中心，AB=kAA₁．
（1）當k=

2

時，求直線PA與平面PBC所成角的大小；
（2）當k取何值時，O在平面PBC內的射影恰好為△PBC的重心？

Answer 1

分析：以點O為原點，直線OA、OB、OP所在直線分別為x、y、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設AB=2

2

，
（1）求出對應各點的坐標，設出平面PBC的法向量為

n

=(1，y，z)，，并求出平面PBC的法向量，再根據cos＜

PA

•

n

＞=

PA • n

| PA |•| n |

=

6

3

，即可得到直線PA與平面PBC所成角的大小；
（2）先由（Ⅰ）知△PBC的重心G為(-

2

3

，

2

3

，

2 2

3k

)，再根據

OG • BC =0 OG • PB =0

，解得k的值即可．

解答：解：以點O為原點，直線OA、OB、OP所在直線分別為x、y、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設AB=2

2

，則得A1(2，0，

2 2

k

)、P(0，0，

2 2

k

)、B（0，2，0）、C（-2，0，0）
_
（1）當k=

2

時，由P（0，0，2）、A（2，0，0）得

PA

=(2，0，-2)、

BC

=(-2，-2，0)、

PB

=(0，2，-2)
設平面PBC的法向量為

n

=(1，y，z)，則由

n • BC =0 n • PB =0

，得

1+y=0 y-z=0

，

y=-1 z=-1

∴

n

=(1，-1，-1)
cos＜

PA

•

n

＞=

PA • n

| PA |•| n |

=

6

3

，
∴直線PA與平面PBC所成角的大小為arcsin

6

3

．
（2）由（Ⅰ）知△PBC的重心G為(-

2

3

，

2

3

，

2 2

3k

)，則

OG

=(-

2

3

，

2

3

，

2 2

3k

)，
若O在平面PBC內的射影恰好為△PBC的重心，則有

OG • BC =0 OG • PB =0

，解得k=

2

∴當k=

2

時，O在平面PBC內的射影恰好為△PBC的重心．

點評：本題是中檔題，考查空間向量求直線與平面的夾角，法向量的求法，直線與平面所成的角，考查計算能力．