Question

已知動圓C與定圓相外切，與定圓內相切．
（1）求動圓C的圓心C的軌跡方程；
（2）若直線l：y=kx+l（k≠0）與C的軌跡交于不同的兩點M、N，且線段MN的垂直平分線過定點，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由動圓C與定圓相外切，與定圓內相切，結合兩圓之間位置關系的性質，可得C到C₃和C₂的和為定值，進而由橢圓的定義得到C的軌跡方程；
（2）設出M，N的坐標，聯立直線方程和橢圓的標準方程，利用韋達定理求出M，N的坐標，代入MN的垂直平分線方程，可求出k值．
解答：解：（1）∵的方程可化為
圓的方程可化為
設動圓C的半徑為r，則
|CC₃|=+r，|CC₂|=-r，
∴|CC₃|+|CC₂|=4
∴C的軌跡是以C₃和C₂為焦點，長軸為4的橢圓
∴C的軌跡方程為
（2）設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
由消去y并整理得
（3+4k²）x²+8kx-8=0
則x₁+x₂=，x₁•x₂=
則y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=
則線段MN的中點P的坐標為（，）
由線段MN的垂直平分線過定點，
設MN的垂直平分線l的方程為y=-（x-）
∵P點在l上
∴=-（-）
即4k²+8k+3=0
解得k=，或k=
點評：本題考查的知識點是圓與圓的位置關系及其判定，直線與橢圓的位置關系，其中根據已知求出C的軌跡方程是解答的關鍵．