Question

定義：在數列{a_n}中，若a_n²-a_n-1²=p，（n≥2，n∈N^*，p為常數），則稱{a_n}為“等方差數列”．下列是對“等方差數列”的有關判斷：
①若{a_n}是“等方差數列”，則數列{

1

an

}是等差數列；
②{（-2）ⁿ}是“等方差數列”；
③若{a_n}是“等方差數列”，則數列{a_kn}（k∈N^*，k為常數）也是“等方差數列”；
④若{a_n}既是“等方差數列”，又是等差數列，則該數列是常數數列．
其中正確的命題為

③④

．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析：①：可以舉反例，如a_n=0可判定真假；②：對數列{（-2）ⁿ}直接根據定義進行判定即可；③：對數列{a_kn}可利用疊加法進行判定；④：設數列{a_n}首項a₁，公差為d，然后根據等方差數列的定義建立關系式，看d是否為0，從而判定真假．

解答：解：①：可以舉反例．如a_n=0時數列{

1

an

}不存在，所以①錯誤
②：對數列{（-2）ⁿ}有a_n²-a_n-1²=[（-2）ⁿ]²-[（-2）^n-1]²=4ⁿ-4^n-1不是常數，所以②錯誤
③：對數列{a_kn}有a_kn²-a_k（n-1）²=（a_kn²-a_kn-1²）+（a_kn-1²-a_kn-2²）+…+（a_kn-k+1²-a_kn-k²）=kp，而k，p均為常數，所以數列{a_kn}也是“等方差數列”，所以③正確
④：設數列{a_n}首項a₁，公差為d則有a₂=a₁+d，a₃=a₁+2d，所以有（a₁+d）²-a₁²=p，且（a₁+2d）²-（a₁+d）²=p，所以得d²+2a₁d=p，3d²+2a₁d=p，上兩式相減得d=0，所以此數列為常數數列，所以④正確．
故答案為：③④

點評：本題主要考查了數列的應用，解題的關鍵是對新定義的理解，同時考查了分析問題的能力，屬于中檔題．