Question

設函數y=f（x）（x∈R）的導函數為f′（x），且f′（x）＜f（x），則下列成立的是（　　）

A．e^-2f（2）＜ef（-1）＜f（0）

B．ef（-1）＜f（0）＜e^-2f（2）

C．ef（-1）＜e^-2f（2）＜f（0）

D．e^-2f（2）＜f（0）＜ef（-1）

Answer 1

分析：由f′（x）＜f（x），得f′（x）-f（x）＜0，然后構造函數F(x)=

f(x)

ex

，利用導數研究函數F(x)=

f(x)

ex

的單調性，得出選項．

解答：解：因為f′（x）＜f（x），所以得f′（x）-f（x）＜0．
構造函數F(x)=

f(x)

ex

，則F′(x)=

f′(x)ex-f(x)ex

(ex)2

=

f′(x)-f(x)

ex

，
因為f′（x）-f（x）＜0，e^x＞0，
所以F'（x）＜0，即函數在定義域上單調遞減，所以

f(2)

e2

＜

f(0)

e0

＜

f(-1)

e-1

，
即e^-2f（2）＜f（0）＜ef（-1）．
故選D．

點評：本題考查導數與函數單調性的關系．構造函數F(x)=

f(x)

ex

是解決這類題目的關鍵．