Question

（2010•山東模擬）函數f（x）的定義域是R，若f（x+1）是奇函數，是f（x+2）偶函數．下列四個結論：
①f（x+4）=f（x）；   ②f（x）的圖象關于點（2k，0）（k∈Z）對稱；  ③f（x+3）是奇函數；    ④f（x）的圖象關于直線x=2k+1（k∈Z）對稱．其中正確命題的個數是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①由f（x+2）偶函數可得f（x+2）=f（-x+2）；由f（x+1）奇函數可得f（x+1）=-f（-x+1），結合兩個條件可判斷f（x+4）=f（x）是否成立
②由f（x+1）是奇函可得函數f（x）的圖象關于（1，0）對稱，而（2k，0）中沒有（1，0）點，可判斷②
③由f（x+1）奇函數可得f（x+1）=-f（-x+1），結合f（x+4）=f（x）可判斷
④由f（x+2）是偶函可知函數f（x）的圖象關于x=2對稱，而x=2k+1中不包含x=2，可判斷

解答：解：①∵f（x+2）偶函數
∴f（x+2）=f（-x+2）
∵f（x+1）奇函數
∴f（x+1）=-f（-x+1）
∴f[（x+1）+1]=-f（-（x+1）+1）=-f（-x）
即f（x+2）=-f（-x）
∴f（-x+2）=f（x+2）=-f（-x）
即f（t+2）=-f（t）
∴f（t+4）=-f（t+2）=f（t）
∴f（x+4）=f（x），故①正確
②由f（x+1）是奇函可得函數f（x）的圖象關于（1，0）對稱，而（2k，0）中沒有（1，0）點，故②錯誤
③考察f（x+3）+f（-x+3）
∵f（x+1）奇函數∴f（x+1）=-f（-x+1）∴f（x-2+1）=-f（-（x-2）+1）=-f（-x+3）f（-x+3）=-f（x-1）又由于已經證明f（x+4）=f（x）∴f（x+3）=f（x-1）
∴f（x+3）+f（-x+3）=f（x-1）-f（x-1）=0 即f（x+3）是奇函數，故③正確
④由f（x+2）是偶函可知函數f（x）的圖象關于x=2對稱
而x=2k+1中不包含x=2，故④錯誤
故選B

點評：本題主要考查了抽象函數的函數的奇偶函數對稱性的應用，函數的周期性的應用，解答本題要求考生應用函數的性質的能力要強