Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

5

3

，短軸一個端點到右焦點的距離為3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過橢圓C上的動點P引圓O：x²+y²=b²的兩條切線PA、PB，A、B分別為切點，試探究橢圓C上是否存在點P，由點P向圓O所引的兩條切線互相垂直？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據短軸一個端點到右焦點的距離為3求出a，然后根據離心率求出b，最后根據a、b、c關系求出b，從而求出橢圓的標準方程；
（2）設P點坐標為（x₀，y₀），若∠APB=90°，則有|OA|=|AP|，建立關于x₀和y₀的一個方程，然后根據P（x₀，y₀）在橢圓上，建立第二個方程，解之即可求出所求．

解答：解：（1）設橢圓的半焦距為c，依題意

c a = 5 3 a=3 a2=b2+c2

∴b=2，∴所求橢圓方程為

x2

9

+

y2

4

=1
（2）如圖，設P點坐標為（x₀，y₀），
若∠APB=90°，則有|OA|=|AP|．
即|OA|=

|OP|2-|OA|2

有2=

x02+y02-4

兩邊平方得x₀²+y₀²=8①
又因為P（x₀，y₀）在橢圓上，所以4x₀²+9y₀²=36②
①，②聯立解得x02=

36

5

，y02=

4

5

所以滿足條件的有以下四組解

x0= 6 5 5 y0= 2 5 5

，

x0= 6 5 5 y0=- 2 5 5

，

x0=- 6 5 5 y0= 2 5 5

，

x0=- 6 5 5 y0=- 2 5 5

所以，橢圓C上存在四個點(

6 5

5

，

2 5

5

)，(

6 5

5

，-

2 5

5

)，(-

6 5

5

，

2 5

5

)，(-

6 5

5

，-

2 5

5

)，
分別由這四個點向圓O所引的兩條切線均互相垂直．

點評：本題考查了橢圓的標準方程與圓、直線與圓錐曲線的位置關系，以及圓的切線方程，是一道綜合性的試題，考查了學生綜合運用知識解決問題的能力．考查了同學們觀察、推理以及創造性地分析問題、解決問題的能力，此題是個難題．