Question

（本小題滿分14分）

已知函數 

(1) 當時，求函數的最小值；

(2) 求函數的單調區間；

(3) 試說明是否存在實數使的圖象與無公共點.

 

Answer 1

【答案】

解：（1） 函數f(x)=x²-ax-aln(x-1)(a∈R)的定義域是(1,+∞)…………………1分

當a=1時，，所以f (x)在為減函數  ………………3分

在為增函數，所以函數f (x)的最小值為=.………………………5分

(2) ………………………………………………6分

若a≤0時，則f(x)在(1,+∞)恒成立，所以f(x)的增區間為(1,+∞).…………………………………………………………………………8分

若a＞0，則故當，，…………… 9分

當時，f(x) ,

所以a＞0時f(x)的減區間為，f(x)的增區間為.………………10分

(3) a≥1時，由（1）知f(x)在(1,+∞)的最小值為，……………11分

令在 [1,+∞)上單調遞減，

所以則>0，…………………………12分

因此存在實數a(a≥1)使f(x)的最小值大于，

故存在實數a(a≥1)使y=f(x)的圖象與無公共點.…………………………14分

【解析】略