Question

（2013•保定一模）已知向量

a

=（sin（

ω

2

x），

1

2

），

b

=（cos（

ω

2

x），

1

2

），（ω＞0，x≥0），函數f（x）=

a

•

b

的第n（n∈N^*）個零點記作x_n（從左向右依次計數），則所有x_n組成數列{x_n}．
（1）若ω=

1

2

，求x₂；
（2）若函數f （x）的最小正周期為π，求數列{x_n}的前100項和S₁₀₀．

Answer 1

分析：（1）若ω=

1

2

，可得函數f（x）=

a

•

b

的解析式，由f（x）=0，可得 sin

1

2

x=-

1

2

 （x≥0），故有x=4kπ+

7π

3

，或x=4kπ+

11π

3

，k∈z，由此可得第二個零點的值．
（2）由函數f （x）的最小正周期為π，求得ω=2，可得 函數f（x）=

1

2

sin2x+

1

4

．令f（x）=0，可得 sin2x=-

1

2

，故有x=kπ+

7π

12

，或x=kπ+

11π

12

，k∈z．由此可得S₁₀₀=

49

k=0

(kπ+

7π

12

)+

49

k=0

(kπ+

11π

12

)=

49

k=0

(2kπ+

3π

2

) 運算求得結果．

解答：解：（1）若ω=

1

2

，則向量

a

=（sin

1

4

x，

1

2

），

b

=（cos

1

4

x，

1

2

），
函數f（x）=

a

•

b

=

1

2

sin

1

2

x+

1

4

．
由f（x）=0，可得 sin

1

2

x=-

1

2

 （x≥0），故有

1

2

x=2kπ+

7π

6

，或

1

2

x=2kπ+

11π

6

．
∴x=4kπ+

7π

3

，或x=4kπ+

11π

3

，k∈z．
自左向右第一個零點為 x=

7π

3

，第二個零點為x=

11π

3

，即 x₂=

11π

3

．
（2）∵函數f （x）的最小正周期為π，則ω=2，
∴函數f（x）=

a

•

b

=（sinx，

1

2

）•（cosx，

1

2

）=sinxcosx+

1

4

=

1

2

sin2x+

1

4

．
令f（x）=0，可得 sin2x=-

1

2

，∴2x=2kπ+

7π

6

，或2x=2kπ+

11π

6

，k∈z．
即 x=kπ+

7π

12

，或x=kπ+

11π

12

，k∈z．
∴S₁₀₀=

49

k=0

(kπ+

7π

12

)+

49

k=0

(kπ+

11π

12

)=

49

k=0

(2kπ+

3π

2

)=50×49π+50×

3π

2

=2525π．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積的運算，函數的零點的定義和求法，三角函數的周期性，兩角和差的正弦公式，等差數列求和，屬于中檔題．