Question

已知函數f(x)=lg(ax²+2x+1)，

(1)若f(x)的定義域為R，求實數a的范圍；

(2)若f(x)的值域為R，求實數a的范圍.

Answer 1

解:(1)若f(x)的定義域為R，則關于x的不等式ax²+2x+1＞0的解集為R，

即解得a＞1.

(2)若f(x)的值域為R，則ax²+2x+1能取一切正數.

∴a=0或解得0≤a≤1.

點評:(1)f(x)的定義域是R，求得a＞1，即a＞1時，保證f(x)的定義域是R，但此時由于ax²+2x+1=a(x+)²+1－≥1－，

∴f(x)的值域是［lg(1－)，+∞)，不要誤認為值域也是R.

(2)f(x)的值域是R，意思是要求其真數ax²+2x+1的值必須取到(0，+∞)內的每一個值，這就要求u=ax²+2x+1的最小值1－不能比零大，否則u就取不到(0，1－)內的值.故需a=0或即0≤a≤1.這時若a=0，則f(x)的定義域為(－，+∞)；若0＜a≤1，則f(x)的定義域為(－∞，x₁)∪(x₂，

+∞)，其中x₁、x₂為方程ax²+2x+1=0的兩根.不要誤認為f(x)的定義域是R.