Question

設函數f(x)=alnx-bx²(x＞0)，
(1)若函數f(x)在x=1處與直線y=相切，
①求實數a，b的值；
②求函數f(x)在[，e]上的最大值；
(2)當b=0時，若不等式f(x)≥m+x對所有的a∈[0，]，x∈(1，e²]都成立，求實數m的取值范圍。

Answer 1

解：(1)①，
∵函數f(x)在x=1處與直線相切，
∴；
②，
當時，令f′(x)＞0，得；
令f′(x)＜0，得1＜x≤e，
∴f(x)在上單調遞增，在[1，e]上單調遞減，
∴；
(2)當b=0時，f(x)=alnx，
若不等式f(x)≥m+x對所有的都成立，
則alnx≥m+x對所有的都成立，
即m≤alnx-x對所有的都成立，
令h(a)=alnx-x，則h(a)為一次函數，，
∵x∈，∴lnx＞0，
∴h(a)在上單調遞增，∴，
∴m≤-x對所有的x∈都成立，
∵，
∴，∴。