Question

已知函數f(x)=

1

3

x3-x2+ax+b的圖象在點P（0，f（0））處的切線方程為y=3x-2．
（Ⅰ）求實數a、b的值；
（Ⅱ）設g(x)=f(x)+

m

x-1

是[2，+∞]上的增函數，
（i）求實數m的最大值；
（ii）當m取最大值時，求曲線y=g（x）的對稱中心．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先把x=0代入切線方程，求出的y值為切點的縱坐標，確定出切點坐標，把切點坐標代入f（x）中即可求出b的值，然后求出f（x）的導函數，把x=0代入導函數中，令求出的導函數值等于切線方程的斜率3，即可求出a的值；
（Ⅱ）（i）由g（x）=

1

3

x3-x2+3x-2+

m

x-1

，得g′(x)=x2-2x+3-

m

(x-1)2

，由g（x）是[2，+∞）上的增函數，知x2-2x+3-

m

(x-1)2

≥0在[2，+∞）上恒成立，由此能求出m的最大值．
（ii）由（i）得g（x）=

1

3

x3-x2+3x-2+

3

x-1

，其圖象關于點Q（1，

1

3

）成中心對稱．

解答：解：（Ⅰ）把x=0代入y=3x-2中，得：y=-2，
則切點坐標為（0，-2），
把（0，-2）代入f（x）中，得：b=-2，
求導得：f′（x）=x²-2x+a，把x=0代入得：f′（0）=a，
又切線方程的斜率k=3，則a=3．
故a=3，b=-2．
（Ⅱ）（i）由g（x）=

1

3

x3-x2+3x-2+

m

x-1

，
得g′(x)=x2-2x+3-

m

(x-1)2

，
∵g（x）是[2，+∞）上的增函數，
∴g′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，
即x2-2x+3-

m

(x-1)2

≥0在[2，+∞）上恒成立，
設（x-1）²=t，
∵x∈[2，+∞），∴t∈[1，+∞），
即不等式t+2-

m

t

≥0在[1，+∞）上恒成立，
當m≤0時，設y=t+2-

m

t

，t∈[1，+∞）在[1，+∞）上恒成立，
當m＞0時，設y=t+2-

m

t

，t∈[1，+∞），
∵y2=1+

m

t2

＞0，∴y=t+2-

m

t

在[1，+∞）上單調遞增，
∴y_min=3-m．
∵y_min≥0，∴3-m≥0，∴m≤3，
∵m＞0，∴0＜m≤3，
綜上，m的最大值是3．
（ii）由（i）得，當m取最大值3時，
g（x）=

1

3

x3-x2+3x-2+

3

x-1

，
其圖象關于點Q（1，

1

3

）成中心對稱．
證明如下：
∵g（x）=

1

3

x3-x2+3x-2+

3

x-1

，
∴g（2-x）=

1

3

(2-x)3-(2-x)2+3(2-x)-2+

3

2-x-1

，
∴m取最大值時，曲線y=g（x）的對稱中心為Q（1，

1

3

）．

點評：本題考查函數、導數等基礎知識，考查推理論證能力、抽象概括能力、運算求解能力，考查數學與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想，研究曲線上某點切線方程的斜率，以及一元二次不等式的解法．要求學生掌握求導法則，采用轉化的思想求不等式的解集