Question

已知函數f(x)=

ax

x2+b

，在x=1處取得極值為2．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數f（x）在區間（m，2m+1）上為增函數，求實數m的取值范圍；
（Ⅲ）若直線l與f(x)=

ax

x2+b

圖象相切于點P（x₀，y₀），求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）已知函數f(x)=

ax

x2+b

，∴f′(x)=

a(x2+b)-ax(2x)

(x2+b)2

．（2分）
又函數f（x）在x=1處取得極值2，
∴

f′(1)=0 f(1)=2

即

a(1+b)-2a=0 a 1+b =2

?

a=4 b=1

∴f(x)=

4x

x2+1

．（4分）
（Ⅱ）∵f′(x)=

4(x2+1)-4x(2x)

(x2+1)2

=

4-4x2

(x2+1)2

．
由f′（x）＞0，得4-4x²＞0，即-1＜x＜1，
所以f(x)=

4x

x2+1

的單調增區間為（-1，1）．（6分）
因函數f（x）在（m，2m+1）上單調遞增，則有

m≥-1 2m+1≤1 2m+1＞m

解得-1＜m≤0，
即m∈（-1，0]時，函數f（x）在（m，2m+1）上為增函數．（9分）
（Ⅲ）∵f′(x)=

4-4x2

(x2+1)2

，
∴直線l的斜率為k=f′(x0)=

4-4x02

(x02+1)2

=4[

2

(x02+1)2

-

1

x02+1

]（11分）
令

1

x02+1

=t，t∈(0，1)，則直線l的斜率k=4（2t²-t）（t∈（0，1）
∴k∈[-

1

2

，4]，即直線l的斜率k的取值范圍是[-

1

2

，4]（14分）
[或者由k=f（x₀）轉化為關于x₀²的方程，根據該方程有非負根求解]．