Question

【題目】已知橢圓的短軸長為，離心率，其右焦點為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過作夾角為的兩條直線分別交橢圓于和，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由已知短軸長求出，離心率求出關系，結合，即可求解；

（2）當直線的斜率都存在時，不妨設直線的方程為，直線與橢圓方程聯立，利用相交弦長公式求出，斜率為，求出，得到關于的表達式，根據表達式的特點用“”判別式法求出范圍，當有一斜率不存在時，另一條斜率為，根據弦長公式，求出，即可求出結論.

（1）由得，又由得，

則，故橢圓的方程為.

（2）由（1）知，

①當直線的斜率都存在時，

由對稱性不妨設直線的方程為，

由，

，設，

則，

則，

由橢圓對稱性可設直線的斜率為，

則，

.

令，則，

當時，，當時，由得，所以，

即，且.

②當直線的斜率其中一條不存在時，

根據對稱性不妨設設直線的方程為，斜率不存在，

則，，

此時.

若設的方程為，斜率不存在，

則，

綜上可知的取值范圍是.