Question

已知函數(shù)f（x）=x²-4ax+2a+6（a∈R）．
（1）若函數(shù)的值域?yàn)閇0，+∞），求a的值；
（2）若函數(shù)值為非負(fù)數(shù)，求函數(shù)f（a）=2-a|a+3|的值域．

Answer 1

分析：（1）二次函數(shù)的值域，可以結(jié)合二次函數(shù)的圖象去解答，這里二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上，△=0時(shí)，值域?yàn)閇0，+∞）
（2）在（1）的結(jié)論下，化簡(jiǎn)函數(shù)f（a），轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題．

解答：解：（1）∵函數(shù)的值域?yàn)閇0，+∞），即二次函數(shù)f（x）=x²-4ax+2a+6圖象不在x軸下方，
∴△=0，即16a²-4（2a+6）=0，∴2a²-a-3=0，
解得：a=-1或a=

3

2

．
（2）由（1）知，對(duì)一切x∈R函數(shù)值均為非負(fù)數(shù)，
有△≤0，即-1≤a≤

3

2

；∴a+3＞0，
∵f（a）=2-a|a+3|=-a²-3a+2=-(a+

3

2

)²+

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，其中  (a∈[-1，

3

2

])；
∴二次函數(shù)f（a）在[-1，

3

2

]上單調(diào)遞減．
∴f(

3

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)≤f（a）≤f（-1），即-

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≤f（a）≤4，
∴f（a）的值域?yàn)?span id="9wg2zvi" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">[-

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，4]．

點(diǎn)評(píng)：本題屬于二次函數(shù)的值域問(wèn)題，通常結(jié)合二次函數(shù)的圖象，容易解得問(wèn)題．